द्रव यांत्रिकी

प्रो सुमेश पी थम्पी

केमिकल इंजीनियरिंग विभाग

भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान, मद्रास

व्याख्यान - 27

गैर-आयामी विश्लेषण - 5-समानता की अवधारणा

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तो, आपको याद दिलाने के लिए कि हम क्या देख रहे थे; इसलिए, हमने कहा कि हमारे पास कुछ भौतिक प्रक्रिया है जो हमें यह कहने दें कि इसमें एक आश्रित चर शामिल है जो कई स्वतंत्र चरों का एक कार्य है

इसलिए, यह वह जगह है जहां हम कल समाप्त हो गया । इसलिए, हमारे पास जो कुछ था, वह आम तौर पर कई स्वतंत्र चर के कार्य के रूप में हुआ है और हमने इकाइयों की एक प्रणाली का चयन किया है जो उनमें से कुछ द्वारा दी जाती है । इसलिए, हमारे पास कश्मीर की मौलिक इकाइयां थीं।

इसलिए, हमने कश्मीर चर लिया है और हमने उस कश्मीर चर के संदर्भ में अन्य सभी चर व्यक्त किए हैं और यही सब सबूत है क्योंकि अब आपके द्वारा समाप्त की गई इन मात्राओं में से प्रत्येक गैर आयामी संख्याएं ठीक हैं।

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इसलिए, यदि आपके पास एन वेरिएबल्स और कश्मीर आयाम हैं तो आपको एन माइनस के आयामरहित समूहों में एन माइनस कश्मीर स्वतंत्र तरीका पता चलेगा। तो मैं तुम्हें कुछ और बताना चाहता हूँ और वह वास्तव में एक कहानी है; यह एक कहानी है कि आम तौर पर बकिंघम pi प्रमेय वास्तव में आयाम विश्लेषण के साथ चला जाता है । कहानी है कि हम अपने लगभग सच मैं एक समय यह इसमें मसालों के बहुत सारे मिल गया है पर लगता है कि देख सकते हैं, लेकिन फिर भी मुझे लगता है कि अपने समग्र एक अच्छी कहानी को देखने के लिए । तो, हमें ठीक देखते हैं ।

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तो, यह एक यहाँ तुम ठीक जाओ. तो, ट्रिनिटी परीक्षण वास्तव में यह एक कोड नाम है यह पहले परमाणु बम है कि परीक्षण किया गया था का कोड नाम था । तो, अब, मेरा मतलब है कि आप सिद्धांत अधिनियम और सब कुछ बहुत आम है, लेकिन लंबे समय से पहले कि १९४५ है । जब वास्तव में इस परीक्षण का आयोजन किया गया था यह अभी में आयोजित किया गया था, यह एक जगह में मेक्सिको में है यह वास्तव में है, यह सब बातें विकिपीडिया से लिया जाता है आप वहां के बारे में और अधिक पढ़ सकते है अपने कहते है कि यह जुलाई के 16 में ५.२९ बजे यह हुआ था । वास्तव में यह आयोजित किया गया था या यह बारिश की वजह से 4 बजे होने लगता था तो आप जानते है कि यह ५.२९ को ले जाया गया था ।

अब, यह सब विवरण ठीक दिया जाता है और यह वास्तव में दिखाता है कि यह परीक्षण कितना महत्वपूर्ण था । हम देखेंगे कि यह परीक्षण महत्वपूर्ण क्यों था और दाहिने हाथ की ओर है कि आप देख रहे है बस आप के बारे में पता है कि आप देखेंगे कि अगर आप इस समय वहां जाना यह एक संरक्षित पक्ष है ।

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आइए देखते हैं इस टेस्ट का वीडियो कैसा दिखता है ।

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इसलिए, यह लगभग 10 किलोमीटर की दूरी से शूट किया गया है जहां से वह परीक्षण वास्तव में हो रहा था; 10 किलोमीटर काफी दूर है आप कल्पना कर सकते हैं । क्या आपने उस विस्फोट को देखा? आपने कुछ सही देखा ।

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तो, वहां मुझे लगता है कि अब इसके बेहतर है । तो, कल्पना कीजिए कि आप इसे 10 किलोमीटर दूर देख रहे हैं जहां आप बैठे हैं और यह विशाल आग की गेंद है कि उगता है । यह यहां जमीन के पास है, आपको ऊपर का हिस्सा दिखाई देगा।

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तो, परीक्षण के बारे में बड़ी बात क्या है? तो बात यह है कि इस परीक्षण से पहले दुनिया ने कभी भी परमाणु बम ओके नामक कुछ नहीं देखा था। इसलिए, लोगों ने परमाणु प्रतिक्रियाएं विकसित की थीं और इसलिए कुछ सिद्धांत उपलब्ध थे । तो सैद्धांतिक रूप से, यह पाया गया कि यह एक परमाणु बम ठीक करना संभव है, लेकिन कैसे मजबूत सिद्धांत यह वास्तव में होगा? ।

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तो, यह द्वितीय विश्व युद्ध का समय था तो, अब क्यों इस कहानी मैंने अचानक कहा कि इसके साथ एक प्रसिद्ध नाम जुड़ा हुआ है और वह जी मैं टेलर है । हम पहले से ही इस नाम को सही सुना है जब हम टेलर Couette प्रवाह के बारे में बात की इस आदमी को एक तरल पदार्थ गतिशीलता वह कई चीजें है जो तरल पदार्थ यांत्रिकी में है के लिए प्रसिद्ध है । तो, आप टेलर नंबर टेलर Couette प्रवाह के बारे में सुना है टेलर अस्थिरता, टेलर्स Vortices टेलर तराजू और इसलिए, ठीक पर की तरह अंय बातों के बहुत सारे हैं । इसलिए, उन्होंने बहुत सी चीजों का योगदान दिया है ।

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तो, उन्होंने जो कहा वह यह है कि बम क्या है यह मूल रूप से ऊर्जा की रिहाई है । ऊर्जा का एक बहुत है कि एक विशेष स्थान पर केंद्रित था अनिवार्य रूप से एक बड़ी राशि के लिए विस्तारित हो जाता है वहां ऊर्जा की एक लहर है कि सभी दिशा में गोलाकार आने जा रहा है कि क्या उसके लिए बम था । इसलिए, उन्होंने कहा कि यदि ऐसा है तो हमें यह लिखना चाहिए कि इसमें कौन से प्रासंगिक चर शामिल हो सकते हैं और यह गैर-आयामी विश्लेषण करने का पहला कदम है ।

इसलिए, आइए देखें कि उन्होंने किन विभिन्न पर विचार किया ।

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उन्होंने कहा कि ऊर्जा क्योंकि ऊर्जा बहुत केंद्रित है यह एक गोलाकार सममित रूप में जारी होने जा रहा है । तो, हम कहते हैं ई ऊर्जा की कुल राशि शामिल चर है कि हम के बारे में चिंता करना चाहते हैं की 1 है। तो, कि ई तो आग का गोला जो विस्तार हो रहा है के त्रिज्या है और वह निश्चित रूप से जानना चाहता था कि यह कितनी तेजी से बढ़ने जा रहा है और कितना यह ठीक हो रहा है । इसलिए, आर आग का गोला टी का त्रिज्या है जिस पर यह हो रहा है।

फिर उन्होंने कहा कि आग का गोला अधिकार में एक भारी दबाव विकसित होने जा रहा है जो पूरी बात का विस्तार करने जा रहा है और बाहरी दबाव के खिलाफ काम करने जा रहा है । इसलिए उन्होंने कहा कि हमें गेंद के अंदर दबाव और गेंद के बाहर के दबाव को दो प्रासंगिक मापदंडों के रूप में विचार करना चाहिए और उन्होंने यह भी कहा कि हम हवा के घनत्व के बारे में भी चिंता करेंगे ।

इसलिए हवा का घनत्व बढ़ने वाला है। तो, यह एक सुपर गर्म हवा ठीक हो जाएगा। इसलिए, आप उसके घनत्व पर विचार करने जा रहे हैं और आप बाहरी तरल पदार्थ के घनत्व पर विचार करने जा रहे हैं जिसके विरुद्ध यह ठीक-ठाक विस्तार कर रहा है । इसलिए, इसका कारण यह है कि वास्तव में उच्च दबाव वायुमंडलीय दबाव के खिलाफ काम कर रहा है ताकि इसका विस्तार किया जा सके । इसलिए, यह वह तंत्र होना चाहिए जो यह नियंत्रित कर रहा है कि इसका कितनी तेजी से विस्तार हो रहा है । तो, हमें कहना है कि अगर ये चर शामिल है तो क्या संबंध है कि इन चर के बीच मौजूद हो सकता है ।

अब, आप जानते हैं कि ऐसा कैसे करना है क्योंकि आप बकिंघम पीआई प्रमेय को जानते हैं या आप Ipsen की विधि का उपयोग कर सकते हैं यह पता लगाएं कि गैर आयामी संख्या क्या है जो गैर आयामी संख्याएं आने वाली हैं ।

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तो, कि जिस तरह से टेलर का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना है, लेकिन आप शायद इस के कुछ संयोजन आप वास्तव में सत्यापित कर सकते है कि कुछ मिल सकता है । इसलिए, जैसा कि हमने कहा कि यह कई मायनों में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है कि यह यहां चर दोहराने या आपके मौलिक आयामों के रूप में क्या चयन किया जाता है, हमें अलग-अलग संयोजन मिलेंगे, लेकिन वे एक ही बात का प्रतिनिधित्व करेंगे। इसलिए, यदि आप हमें पीआई 1 और पीआई 2 कहने दें; यदि आप कुछ विशेष फैशन में पीआई 1 और पीआई 2 को जोड़ते हैं, तो आपको वही गैर आयामी संख्या प्राप्त होने जा रही है जो उसने वहां लिखा है।

तो, वह इन चार उनमें से कुछ एट स्क्वायर पर 1 rho 0 से बिजली माइनस 1 से 5 तो वहां एक pi 2 एक pi 3 और एक pi 4 था । और हां, जैसा कि हमने देखा है वहां इन चार के बीच एक संबंध मौजूद है और वह है कि वह क्या लिखा है और वह किसी को और अधिक आश्चर्य की बात नहीं है ।

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अब, वह जब से वह पाया कि इन चारों तो वह इसे से बाहर कुछ निष्कर्ष निकालना था । इसलिए, उन्होंने सोचा कि वह क्या सबसे अच्छी बात कर सकते हैं और उन्होंने कहा कि हमें उन कुछ गैर आयामी संख्याओं को देखना चाहिए । इसमें एक गैर-आयामी संख्या शामिल थी जो घनत्व का अनुपात ठीक था।

इसलिए, यदि आप मूल रूप से कहते हैं कि यह उस आग का गोला के घनत्व से हवा के बाहर हवा का घनत्व है जो बहुत छोटा होने जा रहा है क्योंकि आपके पास थोड़ी मात्रा में गैस है। तो, कोल्हे ठीक है। इसलिए, 2 गैर आयामी समूह बहुत छोटे होने जा रहे हैं और उन्होंने यह भी कहा कि इस pi 2 को गैर आयामी समूह में से एक को देखो कि वह जाते हैं जो वास्तव में इस विशेष संयोजन था और उन्होंने कहा कि वह चीजों को देखेंगे, जब समय बहुत छोटा है; इसका मतलब है, विस्फोट की शुरुआत में ठीक है।

तो, यह शक्ति 6 के लिए टी है; इसका मतलब है कि यह बेहद कम मात्रा में होने जा रहा है । तो, दूसरे शब्दों में उन्होंने कहा कि उन्होंने कहा कि मैं उस स्थिति को देखूंगा जिसमें पीआई 3 पीआई 4 और पीआई 2 बहुत छोटे ठीक हैं। यदि आप ऐसा करते हैं तो आप क्या करते हैं, मूल रूप से आपके पास pi 2 पीआई 3 और पीआई 4 के एक समारोह के रूप में लिखा गया पीआई 1 था और अब आप कह रहे हैं कि आप पीआई 2 पीआई 3 और पीआई 4 को बहुत छोटा या दूसरे शब्दों में बनाने जा रहे हैं जो यह कहने के लिए बाहर आएंगे कि पीआई 1 कुछ ऐसा कार्य है जो किसी और चीज पर निर्भर नहीं है। और इसलिए, पीआई 1 एक निरंतर या कुछ संख्या है जो कुछ भी है।

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तो, पीआई 1 यह अभिव्यक्ति थी जिसमें त्रिज्या ई टी स्क्वायर और इतने पर निहित था। देखो वह यह एक अच्छा रूप में लिखा था तो है कि ई कुछ लगातार बार rho 0 बार आर शून्य से 2 ठीक की शक्ति के लिए 5 टी की शक्ति के लिए है । तो, जहां कश्मीर कुछ स्थिर है जो हम नहीं जानते कि क्या बाहर आने जा रहा है या यदि आप टी के एक समारोह के रूप में आर के रूप में इस समीकरण को फिर से लिखना होगा जो पाठ्यक्रम के लिए, आप देख सकते है कि आर टी में 2 से 5 ठीक है की शक्ति के लिए एक है । इसलिए, उन्होंने कहा कि कैसे मूल रूप से आग का गोला का त्रिज्या बढ़ने जा रहा है यह समय के साथ 2 से 5 के एक समारोह के रूप में विकसित होगा, जहां भी वह अंय गैर आयामी संख्या की उपेक्षा कर सकता है ।

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अब, परीक्षण वास्तव में परीक्षण का गवाह भी हुआ, लेकिन उसे विवरण नहीं मिला उसे संख्याओं के बारे में कोई जानकारी नहीं थी । इसलिए, वह वास्तव में किसी भी गणना का सत्यापन नहीं कर सका। और फिर, ४७ में वहां एक पत्रिका इस पत्रिका जीवन पत्रिका जो इस ट्रिनिटी परीक्षण या तस्वीरें है कि जारी कर सकते है के बारे में एक लेख ले बुलाया गया था इस फार्म ठीक है । तो, मूल रूप से आप विस्फोट देखते है और वह टेलर के लिए पर्याप्त था क्योंकि वहां एक लंबाई पैमाने और एक समय पैमाने पर है कि तस्वीर में मौजूद आप ठीक देख रहा था ।

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वास्तव में, पत्रिका वास्तव में उनमें से एक श्रृंखला है जिसमें अपने ०.१० मिलीसेकंड पर देखते हैं, यह था कि हम कैसे दिखते है और फिर यह १.९३ मिलीसेकंड तक की जानकारी थी ।

तो, वह मूल रूप से समय और त्रिज्या है और वह सब की जरूरत है वह अपने समीकरण है जो तो वापस चला गया, तुम व्युत्पन्न किया था कि आर एक खेद कुछ स्थिर है जो मूल रूप से 2 से 5 की शक्ति के लिए अंय मात्रा टी पर निर्भर है की एक समारोह है, जहां यह लगातार एक अब शामिल होगा क्या ऊर्जा की मात्रा है कि सही शामिल है । तो, वह आर बनाम टी फिट एक और बम जो वास्तव में वर्गीकृत जानकारी वहां ठीक था की ऊर्जा की गणना की ।

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कोई नहीं जानता था, लेकिन वह गणना और फिर । तो, ग्राफ वास्तव में अच्छी तरह से आने के दौरान इस सरल पैटर्न की वजह से, लेकिन वह भी हम डेटा अंक यह बाहर आया एक बहुत अच्छा सीधे 2 से 5 ठीक की शक्ति को टी पर गिरने लाइन देख सकते हैं । और फिर वह वापस गणना क्या ऊर्जा है और यह संख्या है कि वह के साथ आया था और वास्तव में, यह क्या वास्तव में ठीक इस्तेमाल किया गया था के बहुत करीब हुआ है । इसलिए, यह कुछ भी जानने के बिना गैर आयामी विश्लेषण की ताकत है जो आप अभी भी कुछ बहुत ही प्रासंगिक जानकारी की गणना कर सकते हैं।

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हाँ। तो, यह है मैंने सोचा कि मैं तुंहें क्लासिक समस्या है कि हम विचार कर रहा है मैं कह रहा है कि हम देखते है कि हम एक तरल पदार्थ तुंहें पता है कि कुछ वस्तु पास बह रहा है और हम आप के बारे में सोच रहा है कि कैसे है कि वस्तु पर बल की गणना करने के लिए और इसलिए इन पर कुछ प्रयोगों से कर रहे है के कुछ तस्वीरें दिखा देंगे । तो, इन कुछ प्रयोगात्मक चित्रों और जिस तरह से लोगों को यह मुझे लगता है, मैं कुछ समय तुम सिर्फ तरल पदार्थ में कुछ कणों डाल उल्लेख किया है और कणों की गति है कि आपको बताना होगा कि कैसे तरल पदार्थ प्रवाह यहां की तरह देखने जा रहा है आप इस सर्कल वास्तव में सिलेंडर है ।

तो, आप एक बेलनाकार वस्तु तरल पदार्थ एक तरफ से बह रहा है और यह दूसरी तरफ ठीक करने के लिए जा रहा है । इस तस्वीर में यह स्पष्ट नहीं है, लेकिन यहां तरल पदार्थ बाईं ओर से आ रहा है यह मूल रूप से आप विक्षेपित पता है और जब यह वापस ठीक हो जाता है । तो, ये पंक्तियां होंगी कि यह कौन सी पंक्तियां होंगी? हाँ इन पंक्तियों इस विशेष मामले में स्ट्रीम लाइनें हैं यह एक सुव्यवस्थित है और यह है कि यह एक सेट 0.038 बहुत छोटे रेनॉल्ड्स संख्या का एक रेनॉल्ड्स संख्या है यह है कि आप एक सिलेंडर पिछले प्रवाह कैसे देखेंगे।

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यह थोड़ा अधिक रेनॉल्ड्स संख्या में भी है और आप देखेंगे कि कुछ बहुत ही रेनॉल्ड्स संख्या वास्तव में 1 है।

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यह है Reynolds संख्या 19 के बराबर है जब Reynolds संख्या बढ़ जाती है क्या होता है कि तरल पदार्थ वास्तव में अपनी स्क्रीन एस के बाईं ओर से आ रहा है और फिर यह चला जाता है और फिर इस परिसंचरण रियर अंत या पीछे की ओर ठीक पर विकसित होगा । इन्हें वोर्टिस कहा जाता है और आप में से बहुत से जानते हैं कि एक मजबूत तरल प्रवाह ठीक है; इसका मतलब है कि, आप वास्तव में इस के गठन के कारण ऊर्जा का एक बहुत खो हमें देखते है कि बाद में ।

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इसलिए, यही दिखेगा । यह एक और तस्वीर है जो एक उच्च रेनॉल्ड्स संख्या में भी है । तो, यह मूल रूप से आता है और फिर यह चला जाता है और यह चला जाता है, तो यह वोर्टिस वास्तव में इस परिसंचरण बड़ा हो जाते हैं ।

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और यदि आप रेनॉल्ड्स संख्या को और बढ़ाते हैं जो 55 है, तो यह वोर्टिस वास्तव में सिलेंडर से उखाड़ फेंकेगा और फिर यह वास्तव में ठीक हो जाएगा। तो, यह है कि तो आप देख सकते है कि शुरू में जब प्रवाह बहुत साफ था वहां यह कुछ भी नहीं है कि आप ठीक खो रहे थे, लेकिन पता है कि आप मूल रूप से आप में से बहुत से एक बड़े क्षेत्र है पता है vortices या क्षेत्र recirculating और आप वास्तव में इस विशेष प्रक्रिया की वजह से ऊर्जा का एक बहुत खोने जा रहे हैं हां ।

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तो, यही प्रवाह पास एक वस्तु की तरह दिखेगा और हम जानते है कि आप जानते है कि आप वास्तव में बस Reynolds संख्या के एक समारोह के रूप में उस वस्तु द्वारा लगाए गए बल की गणना कर सकते है और क्या आप देख मूलतः है कि बाएं हाथ की ओर ग्राफ अपने फोन खींचें गुणांक यह बल है तो मैं हां लिखने जा रहा है ।

तो, यह एक खींचें बल है कि वह rho यू स्क्वायर एल वर्ग पर गणना Reynolds संख्या चला जाता है । कि आप इस साजिश को कैसे लेते हैं और यह वास्तव में साजिश है कि आपको तब मिलता है जब आप जो भी अनुभवात्मक अवलोकन करते हैं, आप वास्तव में इसे ठीक लाइन में डाल सकते हैं। तो, वहाँ 2 बात है कि आप देख रहे हैं कि एक क्षेत्र की है और एक एक सिलेंडर की है; सिलेंडर और गोला 2 अलग-अलग वस्तुएं हैं। तो, कि घटता अलग होगा, लेकिन आप देख सकते है कि यह आप एक अच्छा साजिश दे रहा है ।

हम अभी भी नहीं जानते कि सैद्धांतिक रूप से इसकी गणना कैसे करें, इसकी गणना करने का कोई तरीका नहीं है कि आप कुछ सीमाओं को छोड़कर इसकी गणना कर सकते हैं, लेकिन। इसलिए, यह बहुत महत्वपूर्ण वक्र है और आप देख सकते हैं कि जैसे ही आप वस्तु को बदलते हैं, आप इस तरह के विभिन्न विभिन्न घटता प्राप्त करने जा रहे हैं। इसलिए, यह प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है।

तो, यहां प्रवाह laminar है, यहां प्रवाह laminar यहां भी वास्तव में प्रवाह laminar होगा यह सिर्फ होगा कि वहां परिसंचरण के बहुत हो जाएगा इस तरह वोर्टिस के बहुत हो जाएगा, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि प्रवाह अशांत ठीक है । यहां भी मुझे लगता है कि प्रवाह समय यह पहुंचता है वहां संभावना है कि कुछ अशांत तुंहें पता है प्रवाह के बीच में विकसित होगा बाहर तरल पदार्थ के बीच में विकसित होगा अभी भी laminar जारी रहेगा और याद है कि २,१०० कुछ भी नहीं इस विशेष मामले के साथ नहीं है ठीक है ।

यहां आप देख सकते हैं कि रेनॉल्ड्स संख्या बहुत छोटी है ओह, यह अलग संक्रमण है यह एक संक्रमण अशांत सीमा परत कहा जाता है जो Reynolds संख्या है जिस पर यह नहीं है ।

इसलिए, क्या होता है जो हम इस क्षेत्र को देखेंगे जो सतह के बहुत करीब है हम प्रवाह को सही होने की उम्मीद करेंगे क्योंकि यह सतह के बहुत करीब है सतह से बहुत घर्षण आ रहा होगा वेग सब हो जाएगा, लेकिन कुछ Reynolds संख्या से परे वास्तव में जब कि क्षेत्र अशांत हो जाएगा । इसलिए, जो क्षेत्र सतह के बहुत करीब है, वह अशांत हो जाएगा और यह उस विशेष रेनॉल्ड्स संख्या में होता है और यह केवल प्रक्रिया का गठन है ।